Matematika klasean. DBH 4.mailako ikasle berriekin hausnarrean (pentsatzen, hausnartzen, gogoetan) eta hausnarrean (behiarena egiten, hau da, gogoeta "bergogoetatzen", gogoetari bueltak ematen eta mastekatzen, hausnarketak irensteko hausnarrean aritu behar baita, nonbait!):
- Bi infinitu berdinak dira beti?
- ... (zoragarria izaten da ikasleen aurpegi harrituak ikustea... ez dago harridura sortzea baino ederragorik... bizitzan denbora gehiago pasa beharko genuke harridura guneak eta uneak sortzen).
- Ea infinitu bat beste infinitu bat baino handiagoa izan daitekeen...
- EZ! (ziurtasunez! 15 urteko gazteak dena egin behar du ziurtasunez)
- Ez?
- EZ! Asko beti da asko.
- Baina, asko guztiak berdinak dira?
- BAI!
- Bai?
- Edo ez! (indarra hasi da apaltzen... lortu dut (eta ez da erraza!) zalantza sortzea! (Eutsi horri, Irati!) Zalantzarik sortu ezean, ez dago hausnarketarik, eta hausnarketarik ezean, akabo jakin-minaren xarma)
- Ez?
- Ez dut ulertzen! (tarteka burua makurtzen ere jakin behar da)
- Asko bat izan daiteke askoago? Bat bestea baino infinitu askoagoa izan daiteke?
- Mugarik ez duen zerbait mugatu dezakegu, Irati?
- (Ño! Horri ere erantzun egin behar!) Badirudi ezetz, ezta? Baina, mugarik gabeko espazio guztiak neurri berekoak dira?
- Baina, infinituak ezin du neurririk izan...
- Hori ere egia da! (positiboa koadernora) Edo egia izan daitekeela dirudi...
- Orduan?
- Dirudik, hau da, iruditzeak beti izaten dituela tranpak ezkutuan.
- Orduan, zer idatziko dugu koadernoan?
- Ipuinari zuk eman beharko diozu amaiera. Idatzi lasai zure ondorioa. Idazten duzuna idazten duzula ongi egongo da.
Ba hoixe, nazkarik ematen ez duen askoaz aritu garela hizketan, ia ezustean, gehienetan bezalaxe, halako gaiak bat-batean sortzen baitira ikasgelan. Eta zer litzateke klase ordu bat bat-batean sortutako une eder horiengatik ez balitz? Ikasi, ikasi, ikasi... halako momentuetan ikasten da gehien.
Entradas
Infinitu? Eta hori zer da? Gaur goizeko arbela betearen aurreko harridura aurpegiak (etsipen aurpegiak ia)? Irakasleak ulertu ote dugun galdetu eta sortu den isiltasuna? Ipuinak idatzi nahi zituelako ikasiko zuela matematika erabaki zuen neskatoaren... neskatoaren... zer?
ResponderEliminarEz dakit lehen baino urrunago ala lehen baino hurbilago sentitzen zitudan. Zenbat dira 300 kilometro? Infinitu ez. Infinitu... zenbaki konplexuen konplexutasuna da infinitu? (infinitu handiagoen gainetik egin beharko dugun salto... auskalo!)
Izugarri (infinitu?) pozten nau halakoen berri izateak. Noizbehinka norbaitek arbelak kontatzen ez dizkien gauzak kontatu behar dizkielako ikasleei. Gogora etorri zait neure logelan, liburu baten konpainian, infinitu mota desberdinak, infinitu handiagoak eta txikiagoak existitzen zirela irakurri nuenekoa (niri ez zidan inork klasean galdetu). Ez dakit zenbat aldiz irakurri behar izan nuen orrialdea sinisteko, infinitu txikiren bat edo (hori ere badago?).
Muxu konplexu bat (Mx bi, b=0)
Neskatoaren... neskatoaren... saltsarako gogoa! Nik gertu sentitzen zaitut, oso gertu. Urrutikoa infinitua bada zer da oso-oso-oso-oso-oso gertukoa?
EliminarOrain muxu konplexuak ematen hasi behar dugu? ;-) Eta muxu konplexuak ematen ikasteko nahikoa dira bi aste Matemtika fakultatean?
Muxu izugarri handia, erro minus bat itxurakoa.
Ikasgela askotan, berriz, ASKO da ASCO; beraz, badakizu, gutxira errenditu behar aski delakoan. Jeje. Portzierto, hatz erakuslea iristen al da infinituraino?
ResponderEliminarASKO, ASCO, ASKI... eta ASKE... noiz sentiaraziko ditugu ikasleak aske? Ez zaizu iruditzen gehiegi ematen diegula ASKAtik edaten?
EliminarNi ez naiz horri erantzuteko gai, Ekaitz! Nire hatzak (janez, janez) infiniturantz ez, baina, eskumuturrerantz egiten dute.
Eta infinitua eskumuturrean txirikordatutako pultsera bat balitz?
Ikurra berdina izango da bai, baita luzeera agian. Baina zenbakien balorea? Nik uste ezetz.
EliminarEderki, Sergio! Zu bai azkarra! Ez bai eta ez ez. Badaezpada ere hortxe hiru bideak aurrera egiteko. BAI, EZ eta garrantzitsuena, AGIAN. Ez dago gaizki pentsatua!
EliminarAber: 0-tik 100-erako infinito eta 0-tik 10-erako infinito bat berdinak dira, azken batean, infinito ez du neurririk beraz ezin da kalkulatu ze infinito den handiagoa. Bueno, hori uste dut gutxienez!
ResponderEliminarIñigo Chocarro
Ba, ez da gutxi Iñigo, zuk hori uste izatea. Baina, 0-tik 100-erako infinitoa ez da 0-tik 10-erako infinitoa baino hamar aldiz handiagoa?
EliminarNire ustez, bi infinitu horiek berdinak dira, nahiz eta bata bestea baino handiagoa dirudien. Zaila bada ere, beti izango dira 1 eta 1000 artean dauden zenbakiak eta 1 eta 2 artean daudenak infinitu.
ResponderEliminarIzan ere, infinitua bukaerarik ez duen zerbait da, eta zenbaki hoien artean dauden infinituak ezin dira desberdinak izan, bukaerarik gabeko zerbait baizik, betiere berdinak izanik.
Ño, Ander! Azken esaldia izugarri gustatu zait. Korapilo polita estutu diguzuna...
EliminarLehenengo esaldiarekin ez nago ni hain ziur. 1 eta 1000, 1 eta 2... ;-) Honetan guztian hitz gakoa zuk zeuk idatzi duzuna. DIRUDIEN. Irudipenekin jolasean jarraitu beharko dugu beraz!
Bai,nire ustez bi infinituak berdinak dira mugarik gabeko zerbait ezin dezakegulako mugatu. Infinituak ez dauka neurririk eta beraz, ezin da bata bestea baino handiagoa edo txikiagoa izan; baina auskalo!
ResponderEliminarHoixe, Amaia! Auskalo! Sekula pentsatzen jarriko ez ginatekeen kontuen inguruan pentsatzen jartzeko balio izan digu behintzat! Ezin da neurtu... eta Sergio jarriko bagenu zinta metrikoarekin infinitua neurtzen? Zenbat denbora beharko luke neurtzeko? ;-D
ResponderEliminarInfinitua zer ote den? Bi infinituak berdinak diren ala ez? Zein den luzeagoa? Nork daki! Izan ere, infinitua neurtu ezin den zerbait da, beraz, nola jakin bata bestea baino luzeagoa den mugarik jarri ezin bazaio? Dena den, nire ustez, biak berdinak dira neurririk ez daukatelako.
ResponderEliminarEta galderei erantzuteko bidaiatxo bat egingo bagenu? Ausartuko zinateke infiniturantz bidaiatzen, Irati? Infinitura iristeko infinitu pauso eman beharko dira? Infinitu txikiari edo infinitu handiari, zeri helduko diogu lehenengo? Ni badaezpada ere (ezer arrarorik topatuta ere) zure atzetik joango naiz!
EliminarNire ustez biak berdinak dira, tarte bakoitzetik zati txiki bat hartuta tarte horren barruan infinitu zenbaki daudelako ere; baina, zer da infinitu? Azkenik, kalkula ezina da; beraz, nola dakigu handiagoa ala txikiagoa den?
ResponderEliminarEta zati txiki bat hartzeak Carla zer esan nahi du? Zentimetro bat hartzea? Milimetro bat? Sekula pentsatu al duzu milimetro batek infinitua izan dezakeela bere baitan? Milimetro baten barnean mugarik ez daukan zerbait handia... erotzeko modukoa da, ezta?
EliminarNire ustez berdinak dira infinitua mugagabea izatean ezin dugulako jakin zein den handiagoa infinitua ez delako inoiz bukatzen.Orduan bukaerarik ez izatean ez daukagu emaitza zehatzik.
ResponderEliminarBukatu, bukatu, bukatu... ba ote dago bukatzen ez den beste zerbait, Mikel? Matematika klaseak bukatzen dira? ;-)
EliminarZehaztu behar dugula infinitua? Nola ez al da mugagabea? Zenbakiak infinuak izanda ezin ditzazkegula mugatu esan nahi du. Nola zehaztu 1 eta 2 artean daudenak edo 1 eta 1000 artean daudenak? Zein da handiagoa? Ezin dezakegu jakin. Zeinek daki? Gure imaginazioa infinitua da, beraz, zeinek daki zenbat pentsaera dauden honi buruz INFINITU!
ResponderEliminarInfinitua zerbait irrazionala da, arraroa, bukaezina, guztiaren esanahia, baita ezerrenena ere. Horrek esan nahi du infinito guztiak edonon eta edonoiz egonda bukaezina izango dela, guztia eta ezer aldi berean. ZEHAZTEZINA!!!
Ederra, Igor! "gure imaginazioa infinitua da", ederra ondorioa! Imaginazioa boterea da, ezta? Hori ere aipatu dugu klasean... Indartsu bukatu duzu hausnarketa... garrantzitsua da hori! Norbera bere buruarekin indartsu aritzea!
Eliminar1. Muxu konplexuak ematen liburutegian ikasten da, atsedenaldietan, norbaitek boligrafo bat hartu eta paperean jakinminaren asegarri eta, aldi berean, sortzaile izango dituzunak zirriborratzeko beta hartzen duenean. Eta "diñot nik" eta "baldin eta soilik baldin" (si i nomes si ez zait gustatzen...) eta botatzen ditu bitartean.
ResponderEliminar2. Zero, bat, minus bat, bi, minus bi... infinitu badira... eta bat eta bi artean infinitu zenbaki badaude... zenbat da infinitu infinitu? Irati, infinituak badu ipuinik?
Bejondeizuela, jakinmina sortu eta buruari eragiteko prest egoteagatik!
Muxu handi bat (Muxu infinituen errezetaren bila nabil oraindik ;D )
Uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuui "diñot nik" ;-D bixkor jarri zara irakasle paperean!
ResponderEliminarHori hurrengorako jolasa, infinituaz ipuin bat idaztea edo ipuin infinitu bat egitea...
Muxu infinituak sukaldatzen hasi behar dugu?
Muxu infinituek gosea asetzen dute?
Nire ustez infinitu guztiak berdinak dira, ez dago infinitu bat bestea baino balore handiagoa duena, beraz bi zenbaki osoren arteko tartea eta -infinitutik +infinitura doan tartea berdina izango da, azken batean infinutuak ez du neurririk, zehaztugabea da.
ResponderEliminarOrduan... esan dezakegu infinituak elkarren biki direla? Infinitu bat beste baten ondoan ez dago bereizterik, Aritz? Gorputz neurri berdinak izango dituzte? ;-) Perfektua da infinitua?
EliminarInfinitua beti zerbait erraldoiarekin erlazionatzen dugu, esapazioarekin adibidez. Honek ez du katitate bat adierazten,baizik eta finala ez duen zerbait.
ResponderEliminarEz dugu beti ideia "erraldoi" horrekin erlazionatu behar. Honen adibidea neurri zehatz batzuk dituen edozein gauza izango zen, hala nola koaderno bat; infinitu zatitan zati dezakegu eta. (Geroz eta txikiago izango zen, baina inoiz ez zen bukatuko.
Beraz, bi zembaki infinitu ezin dira berdin izan, bukaera ez daukan zerbait adierazten duelako.
Primeran, Iranzu! Ausart... horrela egin behar zaio aurre matematikari! Kezkatzen hasita nengoen... denak ari ziren berdinak zirela esaten... ederki! Bost puxtarri zuretzat!
EliminarZenbaki bat, beti izango du beste zenbaki bat bera baino handiagoa dena, infinitura ailegatu harte! Baina infinitua ez dago zehaztuta! Hortaz, ezinezkoa da infinituak berdinak izatea, ezin dugulako zehaztu infinitu zenbakia! Nire buruan nahaste borraste bat egotea lortu duzu Irati... (:
ResponderEliminarEta nola askatzen dira nahaste borrasteak? Egingo dugu zuk irakaslearena eta nik ikaslearena? Irakatsiko didazu burua desnahasten? ;-)
EliminarNire ustez, infinitua ezin da zehaztu, eta beraz, konparaezina
ResponderEliminarnire ustez bi infinituren artean ezin da konparaziorik egin, mugagabeak direnez ezin diezulako mugarik jarri, beraz ezin daiteke jakin zein den handiago edo txikiago.
ResponderEliminarAUPA LEITZA!!
Leitzan infinitua existitzen da, Bittor? Gerta daiteke Zizurko infinitua mugagabea izatea eta Leitzako mugatua? Pilotarien nekea zer da finitua edo infinitua?
EliminarNire ustez, bi infinituak berdinak dira, zeren infinitua ez du mugarik eta ezin da jakin zenbat handiagoa den. Beraz uste dut infinitu guztiak berdinak direla,guztiak zehaztugabeak direlako.
ResponderEliminar"Ezin da jakin zenbat handiagoa den" ez dago gaizki pentsatua, Mikel. Eta zenbat handiagoa den zehaztu ez arren, ezin dugu esan handiagoa dela? Zerbait handitu zerk handitzen du zentimetro kopuruak?
EliminarNire ustez infinituak desberdinak izan daitezke eta bat bestea baino askoz "infinituagoa" izan.
ResponderEliminarAdibidez, 0-tik 10-era infinitu zenbaki daude baina 0-tik 5-era ere. Ortaz, nire ustez, lehenengo zatian zenbaki gehiago daude. Demagun bigarren zatiari X deitzen diogula, lehenengo orduan X + zenbaki positibo bat izango litzateke.
Hori guztia dela eta nik hurrengo berdintza proposatuko nuke:
X<X+?
Hau da, niretzat infinitu guztiak ez dira berdinak!
Bikain, Jone! Zure ustea primeran arrazoitu duzu eta hori da garrantzitsuena, norberak uste duena pisuz argumentatzea, eta badirudi esaten duzunak zentzua izan dezakeela... Infinituak batu daitezke orduan, ezta? Eta...
EliminarHau besterik gabe tiraka jarraitzeko...
Infinituari infinitu negatibo bat batuko bagenio? Orduan zer?